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📋 章节总结

判别式的核心要点总结，包括定义、应用、图像关系和常见题型，便于快速复习。

核心要点汇总

📊 判别式要点速览

判别式值 方程根的情况 图像交点情况
Δ > 0 两个不同的实数根 抛物线与 x 轴有两个不同的交点
Δ = 0 一个重根（两个相等的实数根） 抛物线与 x 轴相切（只有一个交点）
Δ < 0 没有实数根 抛物线与 x 轴没有交点

判别式与开口方向的关系

✅ 判别式与开口方向综合分析

  • 开口向上（a > 0）：
    • Δ > 0：抛物线与 x 轴有两个交点
    • Δ = 0：抛物线顶点在 x 轴上
    • Δ < 0：抛物线全在 x 轴上方
  • 开口向下（a < 0）：
    • Δ > 0：抛物线与 x 轴有两个交点
    • Δ = 0：抛物线顶点在 x 轴上
    • Δ < 0：抛物线全在 x 轴下方

公式汇总

📚 重要公式

判别式定义：
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
一般二次方程：
\( ax^2 + bx + c = 0 \)（\( a \neq 0 \)）
二次函数：
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）
求根公式：
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

复习要点

🔑 核心概念回顾

  • 判别式的定义和计算
  • 判别式与实根个数的关系
  • 判别式与图像交点的关系
  • 开口方向对判别式的影响
  • 判别式在不同情境下的应用
  • 判别式的符号判断技巧
  • 判别式与顶点坐标的关系
  • 判别式在实际问题中的应用
  • 判别式的变形和扩展
  • 判别式与其他数学概念的联系

熟练掌握判别式，将为你分析二次函数图像和解决二次方程问题提供强大的工具。